অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7378 (CAT-I)
9 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional) কত?
• সঠিক উত্তর হলো D।
সূত্র:
a এবং b এর তৃতীয় সমানুপাতী x হলে,
a : b :: b : x
x = b² / a
এখানে a = 9 এবং b = 12
x = (12 × 12) / 9
x = 144 / 9
x = 16।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7377 (CAT-I)
দুজন ব্যক্তির আয়ের অনুপাত 5 : 3 এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত 9 : 5। যদি তারা যথাক্রমে 1300 টাকা এবং 900 টাকা সঞ্চয় করে, তবে প্রথম ব্যক্তির আয় কত?
A.
4000 টাকা
B.
2400 টাকা
C.
4500 টাকা
D.
3000 টাকা
• সঠিক উত্তর হলো A।
সংক্ষিপ্ত নিয়ম (Cross Multiplication Trick):
আয়ের অনুপাত = 5 : 3
ব্যয়ের অনুপাত = 9 : 5
সঞ্চয় = 1300, 900
কোণাকুণি গুণ করে বিয়োগ:
(5 × 5) - (9 × 3) = 25 - 27 = -2 একক
(9 × 900) - (5 × 1300) = 8100 - 6500 = 1600 টাকা
এখানে 2 একক = 1600 টাকা
1 একক = 800 টাকা
প্রথম ব্যক্তির আয় = 5 একক = 5 × 800 = 4000 টাকা।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7376 (CAT-I)
যদি (a + b) : (b + c) : (c + a) = 6 : 7 : 8 এবং a + b + c = 14 হয়, তবে c এর মান কত?
• সঠিক উত্তর হলো D।
সমাধান:
ধরি, a + b = 6k, b + c = 7k, c + a = 8k
যোগ করে পাই: 2(a + b + c) = 21k
দেওয়া আছে, a + b + c = 14
2 × 14 = 21k
28 = 21k
k = 28 / 21 = 4 / 3
তাহলে, a + b = 6 × (4/3) = 8
আমরা জানি, c = (a + b + c) - (a + b)
c = 14 - 8 = 6।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7375 (CAT-I)
735 টাকা A, B এবং C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যাতে প্রত্যেকের অংশ থেকে 25 টাকা করে কমিয়ে নিলে তাদের প্রাপ্ত টাকার অনুপাত হয় 1 : 3 : 2। C কত টাকা পেয়েছিল?
A.
245 টাকা
B.
220 টাকা
C.
135 টাকা
D.
355 টাকা
• সঠিক উত্তর হলো A।
সমাধান:
মোট কমানো টাকা = 3 × 25 = 75 টাকা
অবশিষ্ট টাকা = 735 - 75 = 660 টাকা
অনুপাতের পদগুলির যোগফল = 1 + 3 + 2 = 6
অবশিষ্ট টাকায় C এর অংশ = (2/6) × 660 = 220 টাকা
অতএব, C এর প্রকৃত প্রাপ্ত টাকা = 220 + 25 = 245 টাকা।
⚡ Practice with real exam timer and negative marking?
Attempt 100-Question Sunday Mega Mock Tests with Live State Rankings.
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7374 (CAT-I)
একটি ব্যাগে 1 টাকা, 50 পয়সা এবং 25 পয়সার মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত 5 : 6 : 8। যদি ব্যাগে মোট 210 টাকা থাকে, তবে 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কত?
A.
105
B.
126
C.
168
D.
140
• সঠিক উত্তর হলো B।
সংক্ষিপ্ত নিয়ম (Shortcut Trick):
ধরি, মুদ্রাগুলির সংখ্যা যথাক্রমে 5x, 6x এবং 8x।
মুদ্রার মূল্যের অনুপাত:
1 টাকার মোট মূল্য = 5x × 1 = 5x টাকা
50 পয়সার মোট মূল্য = 6x × 0.5 = 3x টাকা
25 পয়সার মোট মূল্য = 8x × 0.25 = 2x টাকা
মোট মূল্য = 5x + 3x + 2x = 10x টাকা
প্রশ্নানুসারে, 10x = 210 => x = 21
অতএব, 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = 6 × 21 = 126 টি।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7373 (CAT-I)
7 : 13 অনুপাতের প্রতিটি পদের সাথে কোন সংখ্যা যোগ করলে নতুন অনুপাত 2 : 3 হবে?
• সঠিক উত্তর হলো C।
সমাধান:
ধরি, x যোগ করতে হবে।
(7 + x) / (13 + x) = 2 / 3
3 × (7 + x) = 2 × (13 + x)
21 + 3x = 26 + 2x
3x - 2x = 26 - 21
x = 5।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7372 (CAT-I)
যদি A এর 15% = B এর 20% হয়, তবে A : B এর মান কত?
A.
3 : 4
B.
4 : 3
C.
17 : 16
D.
16 : 17
• সঠিক উত্তর হলো B।
সংক্ষিপ্ত সমাধান:
A এর 15% = B এর 20%
A × (15/100) = B × (20/100)
15 × A = 20 × B
3 × A = 4 × B
A / B = 4 / 3
অতএব, A : B = 4 : 3।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7371 (CAT-I)
0.32 এবং 0.02 এর মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional) কত?
A.
0.8
B.
0.008
C.
0.08
D.
0.16
• সঠিক উত্তর হলো C।
সূত্র:
a এবং b এর মধ্যসমানুপাতী = √(a × b)
এখানে a = 0.32 এবং b = 0.02
মধ্যসমানুপাতী = √(0.32 × 0.02)
= √(0.0064)
= 0.08।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7370 (CAT-I)
দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 5। যদি প্রতিটি সংখ্যা থেকে 9 বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন অনুপাত হয় 12 : 23। ছোট সংখ্যাটি কত?
• সঠিক উত্তর হলো B।
সংক্ষিপ্ত সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি 3x এবং 5x।
প্রশ্নানুসারে, (3x - 9) / (5x - 9) = 12 / 23
বা, 23 × (3x - 9) = 12 × (5x - 9)
বা, 69x - 207 = 60x - 108
বা, 69x - 60x = 207 - 108
বা, 9x = 99
বা, x = 11
অতএব, ছোট সংখ্যাটি = 3 × 11 = 33।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7369 (CAT-I)
যদি A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6 : 7 হয়, তবে A : D এর মান কত?
A.
16 : 35
B.
8 : 35
C.
12 : 35
D.
16 : 21
• সঠিক উত্তর হলো A।
সংক্ষিপ্ত নিয়ম (Shortcut Trick):
A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)
A/D = (2/3) × (4/5) × (6/7)
A/D = (2 × 4 × 2) / (1 × 5 × 7)
A/D = 16 / 35
অতএব, A : D = 16 : 35।
Compound Interest
Compound Interest
Q. #6513 (CAT-I)
বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2,000 টাকা 3 বছরে সুদে-আসলে 2,662 টাকা হবে?
A.
8%
B.
12%
C.
10%
D.
15%
• সূত্র: A = P(1 + r/100)ⁿ
এখানে, P = 2000, A = 2662, n = 3 বছর
2662 = 2000 × (1 + r/100)³
2662 / 2000 = (1 + r/100)³
1331 / 1000 = (1 + r/100)³
(11/10)³ = (1 + r/100)³
11/10 = 1 + r/100
r/100 = 11/10 - 1 = 1/10
r = 100/10 = 10%
• অতএব, বার্ষিক সুদের হার 10%।
Compound Interest
Compound Interest
Q. #6512 (CAT-I)
বার্ষিক 20% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 8,000 টাকার 1 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে, যদি সুদ প্রতি 6 মাস অন্তর ধার্য করা হয়?
A.
9,680 টাকা
B.
9,600 টাকা
C.
9,720 টাকা
D.
9,800 টাকা
• অর্ধবার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে:
সুদের হার R = 20% ÷ 2 = 10%
সময় n = 1 × 2 = 2 টি অর্ধবছর
• সমূল চক্রবৃদ্ধি A = P(1 + R/100)ⁿ
A = 8000 × (1 + 10/100)²
A = 8000 × (11/10) × (11/10)
A = 8000 × (121/100)
A = 80 × 121 = 9,680 টাকা।
Compound Interest
Compound Interest
Q. #6511 (CAT-I)
বার্ষিক 10% হারে কোনো মূলধনের 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 62 টাকা হলে, আসলের পরিমাণ কত?
A.
2,500 টাকা
B.
1,800 টাকা
C.
3,000 টাকা
D.
2,000 টাকা
• 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্যের সূত্র:
Difference = P × (r/100)² × (3 + r/100)
এখানে, Difference = 62, r = 10%
62 = P × (10/100)² × (3 + 10/100)
62 = P × (1/100) × (31/10)
62 = P × (31/1000)
P = (62 × 1000) / 31 = 2 × 1000 = 2000 টাকা
• অতএব, আসল = 2,000 টাকা।
Compound Interest
Compound Interest
Q. #6510 (CAT-I)
এক ব্যক্তি 10,000 টাকা ধার করলেন এবং বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে প্রতি বছরের শেষে সুদসহ ঋণ শোধের জন্য সমান দুটি কিস্তি (installment) নির্ধারণ করলেন। প্রতিটি কিস্তির পরিমাণ কত টাকা?
A.
5,500 টাকা
B.
6,050 টাকা
C.
5,761.90 টাকা
D.
5,800 টাকা
• চক্রবৃদ্ধি সুদের কিস্তির সূত্র:
P = x / (1 + r/100) + x / (1 + r/100)²
এখানে, P = 10000, r = 10%
10000 = x / (11/10) + x / (11/10)²
10000 = 10x/11 + 100x/121
10000 = (110x + 100x) / 121
10000 = 210x / 121
x = (10000 × 121) / 210 = 121000 / 21 ≈ 5761.90 টাকা।
Compound Interest
Compound Interest
Q. #6509 (CAT-I)
কোনো আসল চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরে 3 গুণ হয়। কত বছরে ওই আসল সুদে-আসলে 9 গুণ হবে?
A.
5 বছরে
B.
6 বছরে
C.
9 বছরে
D.
12 বছরে
• চক্রবৃদ্ধি সুদের নিয়ম অনুযায়ী, অর্থ যদি t বছরে m গুণ হয়, তবে mⁿ গুণ হতে সময় লাগবে (n × t) বছর।
এখানে, 3 গুণ হতে সময় নেয় = 3 বছর
9 গুণ = 3² গুণ
অতএব, নির্ণেয় সময় = 2 × 3 = 6 বছর।