অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7382 (CAT-I)
একটি মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 5 : 3। যদি 8 লিটার জল যোগ করা হয়, তবে অনুপাত হয় 1 : 1। মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত ছিল?
A.
20 লিটার
B.
25 লিটার
C.
30 লিটার
D.
40 লিটার
ধরি, প্রাথমিকভাবে মিশ্রণে দুধের পরিমাণ 5x লিটার এবং জলের পরিমাণ 3x লিটার।
8 লিটার জল যোগ করার পর, জলের পরিমাণ হবে (3x + 8) লিটার।
নতুন অনুপাত 1 : 1, অর্থাৎ দুধ : জল = 1 : 1।
সুতরাং, 5x / (3x + 8) = 1 / 1
5x = 3x + 8
5x - 3x = 8
2x = 8
x = 4
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ ছিল 5x = 5 * 4 = 20 লিটার।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7381 (CAT-I)
দুটি সংখ্যার যোগফল তাদের পার্থক্যের 4 গুণ। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
A.
5 : 3
B.
3 : 5
C.
4 : 1
D.
2 : 1
ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y, যেখানে x > y।
প্রশ্নানুসারে, x + y = 4(x - y)
x + y = 4x - 4y
4y + y = 4x - x
5y = 3x
x / y = 5 / 3
সুতরাং, সংখ্যা দুটির অনুপাত x : y = 5 : 3।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7380 (CAT-I)
যদি a : b = c : d = e : f = 1 : 2 হয়, তবে (3a + 5c + 7e) : (3b + 5d + 7f) এর মান কত?
A.
1 : 2
B.
3 : 5
C.
7 : 2
D.
1 : 1
দেওয়া আছে a/b = c/d = e/f = 1/2।
আমরা জানি, যদি a/b = c/d = e/f = k হয়, তাহলে (xa + yc + ze) / (xb + yd + zf) = k হবে, যেখানে x, y, z যেকোনো ধ্রুবক।
এখানে k = 1/2, x = 3, y = 5, z = 7।
সুতরাং, (3a + 5c + 7e) / (3b + 5d + 7f) = 1/2।
অর্থাৎ, (3a + 5c + 7e) : (3b + 5d + 7f) = 1 : 2।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7379 (CAT-I)
যদি (x + y) : (x - y) = 4 : 1 হয়, তবে (x² + y²) : (x² - y²) এর মান কত?
A.
16 : 1
B.
17 : 8
C.
15 : 17
D.
17 : 1
শর্টকাট ট্রিক (Componendo & Dividendo):
ধাপ ১: x এবং y এর মান বের করা
x = 4 + 1 = 5
y = 4 - 1 = 3
ধাপ ২: x² এবং y² বের করা
x² = 5² = 25
y² = 3² = 9
ধাপ ৩: সরাসরি সূত্রে মান বসানো
(x² + y²) = 25 + 9 = 34
(x² - y²) = 25 - 9 = 16
অনুপাত = 34 : 16 = 17 : 8 (আসল উত্তর)
--------------------------------------------------
* মক টেস্টের অপশন (17:15) মেলানোর ট্রিক:
পরীক্ষায় টাইপিং ভুলে যদি (x² + y²) : (2xy) চাওয়া হয়ে থাকে:
2xy = 2 × 5 × 3 = 30
তাহলে অনুপাত = 34 : 30 = 17 : 15 (অপশন B)
⚡ Practice with real exam timer and negative marking?
Attempt 100-Question Sunday Mega Mock Tests with Live State Rankings.
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7378 (CAT-I)
9 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional) কত?
• সঠিক উত্তর হলো D।
সূত্র:
a এবং b এর তৃতীয় সমানুপাতী x হলে,
a : b :: b : x
x = b² / a
এখানে a = 9 এবং b = 12
x = (12 × 12) / 9
x = 144 / 9
x = 16।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7377 (CAT-I)
দুজন ব্যক্তির আয়ের অনুপাত 5 : 3 এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত 9 : 5। যদি তারা যথাক্রমে 1300 টাকা এবং 900 টাকা সঞ্চয় করে, তবে প্রথম ব্যক্তির আয় কত?
A.
4000 টাকা
B.
2400 টাকা
C.
4500 টাকা
D.
3000 টাকা
• সঠিক উত্তর হলো A।
সংক্ষিপ্ত নিয়ম (Cross Multiplication Trick):
আয়ের অনুপাত = 5 : 3
ব্যয়ের অনুপাত = 9 : 5
সঞ্চয় = 1300, 900
কোণাকুণি গুণ করে বিয়োগ:
(5 × 5) - (9 × 3) = 25 - 27 = -2 একক
(9 × 900) - (5 × 1300) = 8100 - 6500 = 1600 টাকা
এখানে 2 একক = 1600 টাকা
1 একক = 800 টাকা
প্রথম ব্যক্তির আয় = 5 একক = 5 × 800 = 4000 টাকা।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7376 (CAT-I)
যদি (a + b) : (b + c) : (c + a) = 6 : 7 : 8 এবং a + b + c = 14 হয়, তবে c এর মান কত?
• সঠিক উত্তর হলো D।
সমাধান:
ধরি, a + b = 6k, b + c = 7k, c + a = 8k
যোগ করে পাই: 2(a + b + c) = 21k
দেওয়া আছে, a + b + c = 14
2 × 14 = 21k
28 = 21k
k = 28 / 21 = 4 / 3
তাহলে, a + b = 6 × (4/3) = 8
আমরা জানি, c = (a + b + c) - (a + b)
c = 14 - 8 = 6।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7375 (CAT-I)
735 টাকা A, B এবং C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যাতে প্রত্যেকের অংশ থেকে 25 টাকা করে কমিয়ে নিলে তাদের প্রাপ্ত টাকার অনুপাত হয় 1 : 3 : 2। C কত টাকা পেয়েছিল?
A.
245 টাকা
B.
220 টাকা
C.
135 টাকা
D.
355 টাকা
• সঠিক উত্তর হলো A।
সমাধান:
মোট কমানো টাকা = 3 × 25 = 75 টাকা
অবশিষ্ট টাকা = 735 - 75 = 660 টাকা
অনুপাতের পদগুলির যোগফল = 1 + 3 + 2 = 6
অবশিষ্ট টাকায় C এর অংশ = (2/6) × 660 = 220 টাকা
অতএব, C এর প্রকৃত প্রাপ্ত টাকা = 220 + 25 = 245 টাকা।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7374 (CAT-I)
একটি ব্যাগে 1 টাকা, 50 পয়সা এবং 25 পয়সার মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত 5 : 6 : 8। যদি ব্যাগে মোট 210 টাকা থাকে, তবে 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কত?
A.
105
B.
126
C.
168
D.
140
• সঠিক উত্তর হলো B।
সংক্ষিপ্ত নিয়ম (Shortcut Trick):
ধরি, মুদ্রাগুলির সংখ্যা যথাক্রমে 5x, 6x এবং 8x।
মুদ্রার মূল্যের অনুপাত:
1 টাকার মোট মূল্য = 5x × 1 = 5x টাকা
50 পয়সার মোট মূল্য = 6x × 0.5 = 3x টাকা
25 পয়সার মোট মূল্য = 8x × 0.25 = 2x টাকা
মোট মূল্য = 5x + 3x + 2x = 10x টাকা
প্রশ্নানুসারে, 10x = 210 => x = 21
অতএব, 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = 6 × 21 = 126 টি।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7373 (CAT-I)
7 : 13 অনুপাতের প্রতিটি পদের সাথে কোন সংখ্যা যোগ করলে নতুন অনুপাত 2 : 3 হবে?
• সঠিক উত্তর হলো C।
সমাধান:
ধরি, x যোগ করতে হবে।
(7 + x) / (13 + x) = 2 / 3
3 × (7 + x) = 2 × (13 + x)
21 + 3x = 26 + 2x
3x - 2x = 26 - 21
x = 5।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7372 (CAT-I)
যদি A এর 15% = B এর 20% হয়, তবে A : B এর মান কত?
A.
3 : 4
B.
4 : 3
C.
17 : 16
D.
16 : 17
• সঠিক উত্তর হলো B।
সংক্ষিপ্ত সমাধান:
A এর 15% = B এর 20%
A × (15/100) = B × (20/100)
15 × A = 20 × B
3 × A = 4 × B
A / B = 4 / 3
অতএব, A : B = 4 : 3।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7371 (CAT-I)
0.32 এবং 0.02 এর মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional) কত?
A.
0.8
B.
0.008
C.
0.08
D.
0.16
• সঠিক উত্তর হলো C।
সূত্র:
a এবং b এর মধ্যসমানুপাতী = √(a × b)
এখানে a = 0.32 এবং b = 0.02
মধ্যসমানুপাতী = √(0.32 × 0.02)
= √(0.0064)
= 0.08।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7370 (CAT-I)
দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 5। যদি প্রতিটি সংখ্যা থেকে 9 বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন অনুপাত হয় 12 : 23। ছোট সংখ্যাটি কত?
• সঠিক উত্তর হলো B।
সংক্ষিপ্ত সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি 3x এবং 5x।
প্রশ্নানুসারে, (3x - 9) / (5x - 9) = 12 / 23
বা, 23 × (3x - 9) = 12 × (5x - 9)
বা, 69x - 207 = 60x - 108
বা, 69x - 60x = 207 - 108
বা, 9x = 99
বা, x = 11
অতএব, ছোট সংখ্যাটি = 3 × 11 = 33।
অনুপাত ও সমানুপাত
অনুপাত ও সমানুপাত
Q. #7369 (CAT-I)
যদি A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6 : 7 হয়, তবে A : D এর মান কত?
A.
16 : 35
B.
8 : 35
C.
12 : 35
D.
16 : 21
• সঠিক উত্তর হলো A।
সংক্ষিপ্ত নিয়ম (Shortcut Trick):
A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)
A/D = (2/3) × (4/5) × (6/7)
A/D = (2 × 4 × 2) / (1 × 5 × 7)
A/D = 16 / 35
অতএব, A : D = 16 : 35।
Narration
Narration Change Assertive and Interrogative sentence
Q. #7368 (CAT-I)
Change the narration: He said to her, "Why are you looking so sad today?"
A.
He asked her why she was looking so sad that day.
B.
He told her why she was looking so sad today.
C.
He inquired her that why she is looking so sad that day.
D.
He asked her why are you looking so sad that day.
• For an interrogative sentence, 'said to' changes to 'asked'.
• The Wh-word 'why' acts as the connector.
• The sentence structure changes from interrogative to assertive (subject + verb), so 'are you looking' becomes 'she was looking'.
• The tense 'Present Continuous' ('are looking') changes to 'Past Continuous' ('was looking').
• The adverb of time 'today' changes to 'that day'.